Turunan Matematika

TurunanPendahuluan
Definisi :
Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah hcfhcfcfh)()()('lim0−+=→ asalkan limit ini ada
Contoh :
Andaikan f(x) = 13x – 6 cari f’(4)
Jawab : hhhfhffhh]6)4(13[]6)4(13[)4()4()4('limlim00−−−+=−+=→→
131313limlim00==→→hhhh
Keterdeferensialan menunjukan kekontinuan
Teorema :
Jika f’(c) ada, maka f kontinue di c
Bukti :
Kita perlu menunjukan bahwa limsekarang )()(cfxfcx=→
cxcxcxcfxfcfxf≠−−−+=),.()()()()(
karenanya 
−−−+=→→).()()()()(limcxcxcfxfcfxfcxcxlim
=)(.)()()(limlimcxcxcfxfccxcxcx−−−+→→→limf
=f(c)+ f’(c) . 0
=f(c)
Aturan Pencarian Turunan
Teorema A :
(Aturan fungsi Konstanta ). Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sembarang x, f’(x) = 0 yakni,
D(k) = 0
Teorema B :
(Aturan fungsi Identitas ). Jika f(x) = x, mka f’(x) = 1 yakni,
D(x) = 1
Teorema C :
(Aturan pangkat). Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif, maka yakni D(x1)('−=nnxxfn) = nxn-1
Teorema D :
(Aturan kelipatan konstanta). Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdeferensialkan, maka (kf)’(x) = k.f’(x) , yakni
D[k.f(x)] = k Df(x)
Teorema E :
(Aturan Jumlah ). Jika f dan g fungsi fungsi yang terdeferensialkan, maka yakni D[f’(x) + g’(x)] = Df(x) +Dg(x) )(')(')()'(xgxfxgf+=+
Teorema F :
(Aturan Selisih ). Jika f dan g fungsi fungsi yang terdeferensialkan, maka yakni D[f’(x) - g’(x)] = Df(x) - Dg(x) )(')(')()'(xgxfxgf−=−
Teorema G :
(Aturan hasil kali). Andaikan f dan g fungsi fungsi yang dapt dideferensialkan, maka
)(')()(')()()'(xfxgxgxfxgf+=• yakni D[f(x)g(x)] = f(x)Dg(x) + g(x)Df(x)
Teorema H :
(Aturan Hasil bagi). Andaikan f dan g fungsi fungsi yang dapt didefernsialkan dengan g(x) ≠ 0, maka
'')()()(')()(')(xgxfxgxgxfxgf−=

, yaitu )()()()()()()(2xgxDgxfxDfxgxgxfD−=
Turunan Sinus dan Kosinus
Teorema :
Fungsi fungsi f(x) = sin(x) dan g(x) = cos(x) keduanya dapat dideferensialkan, sesungguhnya D(sin x) = cos x D(cos x) = - sin x
Contoh :
Turunkan y = tan x
Jawab : =xxDxDcossin)(tan
xxxDxxD2cos)(cossin)(sincos−=
xxxxx2cossinsincoscos+=
xx22seccos1==
Aturan Rantai
Teorema :
(Aturan Rantai ). Andaikan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungs komposit . Jika g terdeferensialkan di x dan f terdeferensialkan di u = g(x), maka f ° g terdeferensialkan di x dan ( yaitu : ))(())((xgfxgfyο==)('))((')()'xgxgfxgf=ο
uyDDyDxux=
Contoh :
Jika y = (2x2 – 4x + 1)60, cari Dxy
Jawab :
Misal u = 2x2 – 4x + 1
Maka Dxu = 4x – 4
Sehingga Duy = 60 u59
Jadi
uyDDyDxux=
Dxy = 60 u59 (4x – 4) = 60(2x2 – 4x + 1)59 (4x – 4)
Turunan Tingkat Tinggi
Operasi pendeferensialan mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi baru f’. jika f’ sekarang kita diferensialkan, kita masih menghasilkan fungsi lain, dinyatakan oleh f’’(dibaca “f dua aksen”) dan disebut turunan kedua dari f. Pada gilirannya ia boleh diturunkan lagi, dengan demikian menghasilkan f’’’, yang disebut turunan ketiga dan seterusnya.
Cara peulisan (notasi) untuk turunan dari y = f(x)
Turunan
Notasi
.f’
Notasi
.y’
Notasi
D
Notasi
Leibniz
Pertama
F’(x)
Y’
Dxy dxdy
Kedua
F’’(x)
Y’’
Dx2y 22dxyd
Ketiga
F’’’(x)
Y’’’
Dx3y 33dxyd
Keempat
F’’’’(x)
Y’’’’
Dx4y 44dxyd
Kelima
F(5)(x)
Y(5)
Dx5y 55dxyd
Keenam
F(6)(x)
Y(6)
Dx6y 66dxyd
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Ke-n
F(n)(x)
Y(n)
Dxny nndxyd
Latihan
Carilah turunan pertama :
a. y = (2 – 9x)15
b. y = sin3x
c. 

+−=5213sinxxy
d. 22)4(32+−=xxy
e. 6413+−=xxy